序章

  不可以只是记忆。

  不可以无法回忆。

  ——小林秀雄

  我无法忘记。

  我无法忘记在高中时代一起研究数学的女孩们。

  用优雅的解法震撼人心的才女，米尔迦。

  认真提出疑问的活泼少女，蒂蒂。

  每当想起那段时光，心中就会浮现出数学公式，并跟着展开活络的思维。数学公式超越时间，向我展现欧几里得、高斯、以及尤拉等数学家的灵光一闪。

  ——数学是超越时间的。

  藉由阅读数学公式，我品尝着从前数学家体会过的感动。即使这已在数百年前就被证明完毕也无所谓，现在的我确实地拥有完成这些逻辑的快感。

  ——用数学超越时间。

  就有如深入丛林找出隐藏的宝藏。数学是个令人兴奋的游戏，以最佳的解法为目标，这是智力的竞赛。数学，是令人心悸的战斗。

  那时候，我开始使用名为数学的武器——但是这武器却巨大到难以控制，就像无法控制自己的年少轻狂，就像无法控制对她们的深深思念。

  不可以只是记忆。

  不可以无法回忆。

  一切的开端，是在高一的那年春天……

  第1章数列与规律

  一、二、三。三即是一。

  一、二、三。三即是二。

  ——大島弓子『綿の國星』

  1．1在樱花树下

  ——高一那年春天。

  开学典礼那天阳光普照。

  「美丽的樱花盛开……每个人都跑出了崭新的一步……在这传统的校舍里……努力地读书跑跳……少年易老学难成……」

  校长的演讲不断诱导我进入梦乡，我推了推眼镜，忍住哈欠。

  开学典礼結束後，回到教室的途中，我悄悄地离开校舍，一脚踏進了并排的樱花树道，漫步在周围沒有任何人的路上。

  我现在15岁。15，16，17……毕业的时候就18岁了，会经过一个4的倍数，还有一个质数。

  15＝3×5

  16＝2×2×2×2＝244的倍数

  17＝17质数

  18＝2×3×3＝2×32

  现在教室里的其它同学应该正在做自我介绍吧。我最不擅长自我介绍了，到底要说出什么样的自己呢？

  「我喜欢数学。兴趣是推演算式，请各位多多指教。」

  这样的说词会让大家目瞪口呆吧。

  算了，顶多和国中时一样静静地听课，然后独自在图书室里度过推演算式的三年吧。

  这时，一棵格外巨大的樱花树出现在我的眼前。

  一位少女正站在树旁仰望着这棵樱花树。

  她大概是新生。也跟我一样是偷跑出来的吗？

  于是我也抬头看着樱花树，昏暗的天色映入眼帘。

  一阵风吹来，飞舞的樱花将少女围绕住。

  少女看向我。

  她有一副高挑的身材以及乌黑的长发。

  紧闭嘴唇的脸上戴着金属框的眼镜。

  她用清楚的发音念出：

  「一、一、二、三。」

  ※※1123

  念了四个数字之后，少女阖上嘴并指向我，似乎是在对我说：『你，就是你。请回答下一个数字是什么？』

  我的手也指向自己。

  (要我回答？)

  少女无言地点点头，食指依然指着我。

  这是怎么回事？为什么走在樱花树道的我必须要玩这种猜数字的游戏呢？唔……答案是……

  『1，1，2，3，……』

  嗯，原来如此，我懂了。

  「1，1，2，3之后是5，接着是8，再来是13，然后是21，接下来的数字是……」

  少女将手心朝向我，这是停止的手势。

  这次是另一个问题，一样是四个数字。

  ※※1427256

  少女又伸手指向我。

  这是测验吗？

  『1，4，27，256，……』

  我瞬间就找到了规则。

  「1，4，27，256再来是3125吧。再来……我没办法用心算。」

  少女皱了皱眉。她对回答『没办法用心算』的我摇摇头，然后将答案告诉我。

  「1，4，27，256，3125，46656，……」她的声音十分清晰。

  少女闭上了眼，接着像要仰望樱花树般抬起头，她的食指不断地在空中比划。

  少女的嘴里仍然不停地念着数字。虽然她只是轻声吟咏、做着微小的动作，但是我的目光却已经离不开这个奇异的女孩。她到底想做什么？

  然后她看向这里。

  ※※6153577

  又是四个数字。

  『6，15，35，77，……』

  这问题还颇难的，我努力让头脑运转。6与15是3的倍数，但是35却不是，而35与77是7的倍数……要是能写在纸上的话，或许就能迅速解开了。

  我稍微瞄了一下。樱花树下的少女仍然站在树旁，并用相当认真的表情看着我，就连头发沾上樱花也不以为意。看到她这种认真的态度，这果然是测验吗？

  「我知道了。」

  我才刚说完，少女的眼睛就为之一亮，还露出些微的笑容。这是我第一次看见她的微笑。

  「6，15，35，77之后是133。」我不自觉地提高音量。

  但是少女却摇摇头，露出一副「真拿你没办法」的表情。风使她的长发飞舞，也令樱花飘落。

  「计算错误。」女孩的手指碰了碰眼镜。

  计算错误……唔……的确如此，11×13＝143才对，并不是133。

  少女继续发问：

  ※※62821018

  这次是六个数，我稍微想了一下，最后的18真让人头痛，要是2的话就好了，这题看起来很像无意义的数字组合……不对……全都是偶数吗？……我懂了！（JoyJ：读者不必纠结，这个数列绝对是没有任何一个人类能懂的……剧情需要，剧情需要）

  「再过来是4，12，10，6，……还真是个过分的难题。」我说。

  「是吗？不过你不是也解出来了？」

  她露出满足表情的同时走到我的面前伸出一只手。她的手指相当细长。

  (要握手吗？)

  我在搞不清楚的状况下和她握了手，她有双柔顺而且温暖的手。

  「我是米尔迦，请多指教指数。」

  这就是我与米尔迦的邂逅。

  1．2自家

  夜晚。

  我喜欢夜晚。家人沉睡后就是我的自由时间。没有任何人会打扰的世界，在那里只有我一人，摊开书本、探索世界、进入数学的丛林里，发现稀有的动物、清澈的湖水、雄壮的巨木，并与无法想象的美丽花朵邂逅……

  米尔迦。

  明明只是第一次见面，却谈了奇怪话题的怪人。我想她一定很喜欢数学吧，在完全没有任何说明的情况下，就突然进行起如同测验般的数学问答。我合格了吗？我回想起跟她的握手，那是非常柔软的手；还回想起些微的香味，那是淡淡的女孩香。

  女孩。

  我将眼镜放在书桌上，接着闭上眼回想与米尔迦的对话。

  一开始的问题是1，1，2，3，5，8，11，……这是斐波那契数列。在1、1之后，将前面两数相加形成下一个数。

  1，1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，……

  下一个问题是1，4，27，256，3125，46656，……解法则是……

  1，2，3，4，5，6，……

  也就是说一般项为n，4或5还好，不过6的话我就无法心算了。

  再来6，15，35，77，143，……则是这种规则……

  2×3，3×5，5×7，7×11，11×13，……

  也就是『质数×下一个质数』。11×13的计算错误是我的败笔，被米尔迦明确地说出『计算错误』还真是不堪。

  最后的问题，6，2，8，2，10，18，4，12，10，6……相当的难，因为这是十进制圆周率π的各分位数乘上2之后组成的数列。

  π＝3.141592653……圆周率

  →3，1，4，1，5，9，2，6，5，3，……各分位

  →6，2，8，2，10，18，4，12，10，6，……各分位乘上2

  这个问题必须熟记圆周率3.141592653……否则就无法解答，不靠记忆根本无法解答。（JoyJ：有记忆又有什么用……咱怎么也是个能背过圆周率前一百位的人，可是想了那么半天不还是无解么……）

  记忆。

  我喜欢数学，是因为比起记忆东西，我更喜欢思考。数学并不是要唤起陈旧的记忆，而是要拓展新的发现。记忆性的东西就只能死记，像是人名、地名、单字、元素表，没有第二种方法。但是数学不同，给予问题的条件，就像将材料和道具准备好放在桌上，胜负的关键不是记忆，而是思考。

  ……我是这么想的。

  但是，或许没有那么单纯。

  同时我也注意到为什么米尔迦在出「6，2，8，2」的问题时，没有只说6，2，8，2，而是说到6，2，8，2，10，18的原因了。若是只说6，2，8，2的话，解答就不一定只有π各分位数乘上2这种可能性，还有其它更简单的解答，例如6，2，8，2，10，……自然也有可能像下面的数列一样，也就是每个偶数项中插入N的数列。

  6，2，8，2，10，2，12，2，……

  米尔迦是在考虑到这个问题之后才这样出题的。

  『不过你不是也解出来了？』

  她预测出我有办法解答，还露出满足的表情。

  米尔迦。

  在春天的阳光下与樱花飞舞的风中，不逊于这幅风景的她就站在那里，摇曳的黑发、有如指挥家般细长的手指，以及那双温暖的手与淡淡的香味。

  不知为何，我的脑海里已经挥不去她的身影。

  1．3数列谜题没有正确解答

  「米尔迦，为什么那时候你要出数列谜题呢？」我问道。

  「那时候？」她停止计算并抬起头。

  这里是图书室，打开的窗户吹进清爽的风，而窗外是一片梧桐树绿，远方还传来棒球社练习的声音……

  现在是五月。

  对新学校、新教室、新同学的新鲜感逐渐淡化，我回到了平淡无奇的日常作息。

  我没有参加任何社团，也就是所谓的回家社。话虽如此，放学后的我并不会立刻回家。在最后的班会结束后，为了能独自推演算式，我通常会前往图书室。

  就和国中时一样，我没有参加社团，而是放学后在图书室(国中称为图书间)看书，或是看看窗外的绿色，抑或是预习与复习功课。

  其中最喜欢的还是推演算式。将课堂上出现过的公式在笔记本上重新组合、将原本的定义还原、重新导出公式、将定义变形、设想实例、品尝变换定理的乐趣、思考证明方式……我喜欢将这些东西记在笔记本上头。

  不擅长运动、也没有可以一起玩的朋友的我，最大的乐趣就是一个人而对笔记本的时候。虽然写出算式的是我，但是并不是随便怎么写都可以，而是有一定的规则。有规则就算一种游戏，没有比这更严密、更自由的游戏了，这是历史上的数学家们挑战过的游戏，只有一支自动铅笔、一本笔记本和我的脑袋就能进行的游戏，我乐此不疲。

  所以即使成为高中生，我也同样地享受一个人在图书室的乐趣。

  但是，事实与原本的期望有些不同。

  那就是到图书室的学生不只有我一个。

  米尔迦。

  她与我同班，而且她每三天会在放学后到图书室一次。

  每当我一个人计算的时候，她会将自动铅笔从我的手中抽出，然后擅自在笔记本上写字，先说明一下，这本笔记本是我的，该说她旁若无人还是自由自在呢？

  不过我也不讨厌她这样做，她表现出的数学虽然困难，但是有趣、刺激，而且……

  「你说那时候，是指什么时候？」米尔迦咬着(我的)自动铅笔回问着。

  「就是第一次见面的时候，在樱花树下……」

  「啊，那个啊。没什么理由，只是刚好想到罢了。怎么突然问我这个？」

  「没什么，突然想到而已。」

  「喜欢那种谜题吗？」

  「应该不算讨厌。」

  「喔，那你知道『数列谜题没有正确解答』这句话吗？」

  「什么意思？」

  「譬如1，2，3，4，你认为接下来是什么？」米尔迦说道。

  「当然是5吧。1，2，3，4，5……这样下去。」

  「然而，这并不是一定的。例如1，2，3，4，然后在这里突然增到10，20，30，40，再增加到100，200，300，400……这样也算是一种数列。」

  「那样太卑鄙了。开始只说四个数，然后之后才出现『在这里突然增加』之类的。谁能预测到1，2，3，4之后会是10啊？」

  「是吗？那要给你几个数才可以呢？假如数列一直无限延伸的话，要提示到第几个才够呢？」

  「……你所谓的『数列谜题没有正确解答』就是这个意思吗？提示的数之后有可能突然改变规律。不过，在1，2，3，4后面突然接10的话，以问题来说未免太没意义了。」

  「世界上的事不就是这么一回事吗？不晓得之后会发生什么事、与原先预测的不同……那么，你能解出这个数列的一般项吗？」

  米尔迦一边说，一边将数列写在笔记本上。

  ※※1，2，3，4，6，9，8，12，18，27，……

  「嗯～～好像知道又好像不知道。」

  「1，2，3，4之后应该是5吧。可是不是5而是6，在少数样本中规则没有出现，也就是说看不到规律。」

  「嗯。」

  「1，2，3，4，6，9，再来应该会更大吧，不过正好相反。9的下一个是比较小的8，原本觉得会越来越大的数列现在却反过来了，你能看出它的规律吗？」

  「嗯～～除了一开始的1以外，出现的都是2和3的倍数，不过变小的部分就不太了解。」

  「像这样的话就可以说明了。」

  23，23，23，23，23，23，23，23，23，23，……

  「像这样以2和3的指数来思考的话，就可以看出结构了。」

  「咦？我还是不太清楚。0次方是1，所以……

  23＝1，23＝2，23＝3，……

  确实就像一个数列，不过……」

  「嗯～～写出指数了还是不懂吗？那像这样呢？」

  23——指数的和是0

  23，23——指数的和是1

  23，23，23——指数的和是2

  23，23，23，23——指数的和是3

  （JoyJ：所以又是一道纯粹恶心人的题目……）

  「原来如此。」

  「说到2与3的倍数……」米尔迦说到一半。

  这时候图书室的门口突然传来呼唤她的声音。

  「米尔迦……差不多该走了吧！」

  「啊，今天是练习的日子吗？」

  米尔迦把笔还给我并朝入口的女孩走去。在要走出图书室之前，她转头向我说：

  「找机会再跟你讨论『假如世界上只有两个质数』的有趣话题吧。」

  她留下我一个人离开了图书室。

  假加世界上只有两个质数？

  这又是怎么回事？

  第2章名为算式的情书

  我的心里只有你

  一秩尾望都『ラーギニー』

  2．1校门口

  升上高二，不过只是学年标志从I变成II，今天仍旧和昨天一样没有变化……在早上之前我是这么认为的。

  「请、请收下这个。」

  在阴天的四月底，升高二后经过一个月的早上，我在校门口被一个女孩叫住。

  她向我伸出的两手中有一封白色的信，我糊里糊涂地收下信，这个女孩向我行个礼后，就往校舍的方向跑走。

  她的身高比我矮很多，也没有看过的印象，大概是刚入学的新生。我急忙将信收入门袋并向教室走去。

  上次收到女生的信是在小学的时候，那时我感冒请假休息，身为班长的女孩将作业以及「大家都在等你，要快点好起来回学校上课喔！」的信送到家里……只是单纯的联络事项。

  之前米尔迦说过『不晓得之后会发生什么事』，的确没错，今天未必和昨天一模一样。

  口袋里的信不断在课堂中动摇着我的心。

  2．2心算问题

  「这是心算问题。1024的因子有几个？」

  现在是午休时间，正想把女孩的信拿出来的时候，米尔迦边咬着巧克力棒边走到我的身旁问问题。由于没有换班，所以我和米尔迦二年级仍然同班。

  「用心算？」我把信放回口袋。

  「我数到10之前回答。0，1，2，3……」

  等一下，1024的因子……能整除1024的数，1可以，2可以，3不行，1024不能被3整除，4的话可以。啊，对了！1024是2的10次方……我急急忙忙地计算。

  「……9，10，时间到。几个？」

  「11个，1024的因子有11个。」

  「正确答案，怎么算的？」米尔迦一边舔着拿巧克力的手指一边等我回答。

  「1024用质因子分解的话就是2的10次方，所以1024就会像这样分解。」我说。

  1024＝2＝2×2×2×2×2×2×2×2×2×2——2有10个

  我接着说：「1024的因子一定能整除1024，所以因子一定是2n×n从1到10，所以1024的因数为以下11个。」

  2，2，2，2，2，2，2，2，2，2，2

  对于我的回答，米尔迦点了点头。「答对了，那么下一个问题。将1024的因数全部加起来的和是……」

  「米尔迦，抱歉。中午我有点事，晚点再聊……」我说完之后站了起来。

  我不顾被打断话题、明显露出不愉快表情的米尔迦，快速地走出教室。

  打断她出题真的很抱歉，1024的因子的和啊……我边走向屋顶边思考答案。

  2．3信

  即使是午休，屋顶上还是没什么人，是因为天气不太好的关系吧。

  信封里装着白色的信纸，上面是用钢笔横写的娟秀字体。

  我是今年入学的蒂德菈，是跟学长就读同所国中、小你一届的学妹。因为想跟学长讨论关于数学的事，所以写了这封信。

  虽然我对数学有兴趣，不过国中的上课内容就让我很吃力。听说进高中之后数学会更深，很希望能解决这个问题。

  非常抱歉在您忙碌的时候打扰了，希望能有机会与您商谈。今天放学后我会在大型教室里等您。

  蒂德菈

  我将这封信读了四次。

  原来她叫做蒂德菈啊，摩诺=迪=德莉=蒂德菈，跟我同所国中、小我一届的学妹。不过我完全没印象，不擅长数学的学生确实很多，尤其是新生。

  ……先不管这些，这封信还是像联络事情用的嘛……虽然有点失望，不过算了，这样也好。（JoyJ：==你在期待什么……）

  放学后在大型教室见面啊。

  2．4放学后

  「……算出来了吗？」

  结束了一天的课程，在我前往大型教室的途中，米尔迦突然问。

  「2047。」我立刻回答，1024所以因数的和就是2047。

  「是因为思考时间充裕吧。」

  「大概……那明天见。」

  「你要去图书室吗？」米尔迦的眼镜闪了一下。

  「不，今天大概不会去了，突然有点事。」

  「喔……这样的话，就出个回家作业吧。」

  ※※米尔迦出的回家作业

  请说明一正整数n，求其「因数和」的方法为何？

  「这是要使用n来表达因数和的算式吗？」我问。

  「不，只要写出求的过程就好了。」

  2．5大型教室

  「对不起。找你出来……这个……」

  刚进大型教室，就看到蒂蒂一个人紧张地等着，胸前还抱着笔记本和铅笔盒。

  「我、我想和学长谈一谈，可是又不知道该怎么办。我朋友说在这里的话会比较方便，所以……」

  这个大型教室必须从主校区绕过小小的中庭才能到达，主要在物理和化学课时使用。教室由阶梯构成，最下阶是讲台，这是为了让学生方便看清楚教室实验操作的配置。

  我和蒂蒂坐在最后一排的长椅上，我从口袋中拿出今天早上的信。

  「我已经看了这封信了。但是不好意思，我不太记得你。」

  她的右手立刻在脸前左右摇晃。

  「没关系，我也觉得你不会记得我的。」

  「而且，为什么你会认识我啊？我在国中时应该不怎么显眼才对。」没参加社团、放学后只到图书间的人应该不会引人注目。

  「啊，这个……学长你很有名喔。我……那个……」

  「算了……你说想谈谈有关数学不拿手的事情，可以说明得再详细一点吗？」

  「啊，好的，谢谢您……我从小学开始就觉得数学的问题很有趣。但是进国中后，不管是上课还是看课本，都常常觉得『无法完全理解』。到高中之后，老师又说数学很重要，要好好学习，所以才想要解决『无法完全理解』这个问题。」

  「原来如此。所以就是因为有『无法完全理解』的问题，你的成绩也不是很好啰？」

  「不，这个的话……」

  蒂蒂边将食指指甲放在嘴唇上边思考，拥有一头短发、灵活滚动双眼的蒂德菈给人的感觉像是活泼的小动物松鼠或是小猫之类的。

  「像段考之类有一定范围的考试，就不会有太大的问题。但是像模拟考，有时候就会考得很差，中间会有蛮大的落差。」

  「上课呢？上课的时候听得懂吗？」

  「上课啊……老师教的时候好像都听懂了。」

  但是却无法完全理解？

  「是啊，无法完全理解。多多少少能解题，上课也好像听得懂。可是实际上却没有完全理解。」

  2．5．1质数的定义

  「那么我再问得更具体一点，你知道质数吗？」

  「……嗯，应该知道。」

  「应该知道啊……那你说说看质数的定义，就是回答『什么是质数』。不需要用算式，用自己的说法表达就可以了。」

  「什么是质数？嗯～～像5或7之类的吗？」

  「嗯，5和7都是质数没错——但是5和7都只是质数的一个例子。「举例」和「定义」并不一样。什么是质数？」

  「啊，好的。质数就是……『只有1和自己本身能整除自己的数』吧，这是数学老师叫我们一定要记起来的定义。」蒂蒂点点头说。

  「也就是说，你认为这个定义是正确的？」

  『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数』(？)

  「嗯，我觉得这是正确的。」

  「不，这定义是错的。」

  「咦？假如拿5当例子的话，只有1和5可以整除啊。」

  「嗯，5是质数没错。但是照这个定义的话，1也会变成质数了。因为当p用1代入时，p只能被1与p整除这点是符合的，但是1并不包含在质数之内。最小的质数是2，将质数由小到大排列，会像下面的数列一样从2开始。」

  2，3，5，7，11，13，17，19，……

  我继续说下去：「所以前面的定义是错的，质数的定义应该如下面所写……」

  『当正整数p只能被1与p整除时，p为质数，但1除外。」

  「或是从一开始就定下条件。」

  『p为大于1的整数，当正整数p只能被1与p整除时，p为质数。』

  「条件用算式也可以。」

  『整数p＞1，当p只能被1与p整除时，p为质数。』

  「1不是质数啊。的确，老师好像也是这样教的，我能懂学长写的定义了。但是……」

  蒂蒂突然拾起头。

  「我知道了，质数不包含1。不过我还是不能认同，为什么质数不能包含1呢？包含进去会有什么不合理的地方吗？我不懂质数不能包含1的rationale。」

  「rationale？」

  「就是正当的理由、原理的说明、理论的根据。」

  喔～～这女孩也知道认同理由的重要性啊。

  「……学长？」

  「啊……抱歉。为什么质数不能包含1呢？很简单，是因为质因子分解的唯一性。」

  「质因数分解的唯一性？唯一性是什么？」

  「所谓质因数分解的唯一性就是指一正整数n的质因子分解只有一种。例如说24的质因子分解只有2×2×2×3一种。啊，在这里不考虑数字的排列顺序，像2×2×3×2或3×2×2×2之类，虽然顺序不同仍然视为同样的质因子分解。质因子分解的唯一性在数学里是相当重要的，为了要遵守这个性质，所以就定义1不能为质数。」

  为了要遵守这个性质？因为这个原因就可以擅自定义吗？」

  「可以的。虽然说擅自有点夸张……数学家会找出对构成数学世界有用的数学概念，然后将它命名，这就是定义。将概念清楚地规定下来，就能勉强算是定义了。但是，可以定义和这个定义能不能派上用场又是两回事。在你的定义里，质数包含1，会使质因子分解的唯一性消失。话说回来，你懂质因子分解的唯一性了吗？」

  「唔，懂了……吧。」

  「嗯～～为什么说『吧』？必须确定自己是否理解才行。」我特别强调了『自己』。

  「要怎么确定自己是否理解了呢？」

  「例如举个适当的例子来确定是否理解了。『举例是理解的试金石』。虽然举例并非定义，但是适当地举例也是一种很好的练习。」

  『举例若质数包含1，则质因子分解的唯一性无法成立』

  「原来是这样。假如质数包含1，则24的质因子分解，就会像这样有很多种……」

  2×2×2×3

  1×2×2×2×3

  1×1×2×2×2×3

  .

  .

  .

  「是的。这就是质因子分解的唯一性无法成立的例子。」

  我的话让蒂蒂松了一口气，

  「但是与其说『很多种』，不如用『复数个』或『2个以上』的方式表现。这是因为……」

  「……因为比较严密？」蒂蒂马上接下去。

  「没错，『很多种』这种表达方式并不严密。几个以上算是很多？这样界线就很模糊。」

  「学长……我似乎也要先整理一下我的脑袋才行了。关于『定义』、『举例』、『质数』、『质因子分解』、『唯一性』……还有严密的表达，在数学里用词也是很重要呢！」

  「没错！你很聪明。在数学里语言是很重要的。要尽可能避免误会，所以数学才会使用严密的用语，而其中最严密的语言就是算式。」

  「算式……」

  「那么进入数学的语言——算式的话题吧。因为要用到黑板，我们到下面去。」

  我走向大型教室的前方，蒂蒂则跟在后面，才刚走几步就听到一声」啊！」接着我的背后感受到一阵冲击。

  「哇！」

  「对……对不起。」

  蒂蒂被楼梯绊倒，撞向我的背后，在两个人快要跌倒的时候，我总算站稳脚步，真危险。

  2．5．2绝对值的定义

  「……那么接下来，你知道绝对值吗？」我们面向黑板并排站着。

  「嗯，应该知道。5的绝对值是5，－5的绝对值也是5，去掉负号就好了吧。」

  「嗯～～那么我写出x的绝对值定义，你觉得这样可以接受吗？」我在黑板上列式。

  ※※x的绝对值|x|的定义

  |x|＝x(x≥0的情况)

  |x|＝－x(x＜0的情况)

  「啊……这样表示的话，我就想到问题了。既然是x的绝对值，把负号拿掉还出现x不是很奇怪吗？」

  「『把负号拿掉』以数学来讲是很暧昧的说法。虽然能够理解意思，也大致上符合定义。」

  「那么『把负的变成正的』呢？」

  「一样很暧昧。那么－x的绝对值是什么？」我在黑板上写下式子。

  |－x|

  「因为要把负号去掉，答案是x吧。所以说就是|－x|＝x。」

  「不对，假如x＝－3的话呢？」

  「咦？x＝－3的话……」蒂蒂也在黑板上演算。

  |－x|＝|－(－3)|因为x＝－3

  ＝|3|所以－(－3)＝3

  ＝3最后|3|＝3

  「假如像你说的|－x|＝x的话，x＝－3时，就会变成|－x|＝－3.可是实际上是|－x|＝3，所以才会变成|－x|＝－x。」

  听着我的说明、看着黑板上的式子，蒂蒂细细思索。

  「啊！原来如此，x也有可能是负的，这种状况的话，负负就会得正，我看到x就不自觉地想到3或5之类的正数了。」

  「是啊，因为x前而并没有任何符号表示，所以通常不会想到x会等于－3之类的负数，但是这却很重要。特别使用x就是表示即使不用很多实例来说明，也可以具体地定义绝对值。『绝对值就是把负号拿掉』这种说法太过笼统，必须更进一步地确认才行，或许你可能会觉得在挑毛病，不过严密的思考是必要的，习惯这种严密的思考就能习惯算式，甚至是数学也说不定。」

  蒂蒂在最前排找了个座位坐下，她一边用手指拨弄笔记本边缘，一边沉思。

  而我则在等待她的发言。

  「我的国中生活好像都浪费了。」

  「怎么说？」

  「我本来觉得我还算用功的。但是我不曾严密地读过课本里面的定义和算式。我的数学一定是念得很松散吧。」

  她深深地叹了一口气，表现出一副很失望的样子。

  「……我说你啊。」

  「咦？」蒂蒂看向我。

  「假如你真的这么想的话，从现在开始不就好了。过去的已经过去了，你是活在现在啊，把现在发现的事情在未来改变就可以了。」

  蒂蒂突然睁开眼睛，然后站了起来。

  「是……是啊，后悔过去的事也没用。迈向未来就好了……谢谢你，学长。」

  「嗯，今天就先到这里为止吧，天色也渐渐暗了，接下来的下次再讲解。」

  「接下来的？」

  「嗯，我放学后大部分都会待在图书室，假如你有什么想问的，到那里找我就可以了，蒂蒂。」

  她的眼中一瞬间浮现光辉，很高兴地露出微笑。

  「好的！」

  2．6回家的路上

  「唉呀，下雨了。」

  刚走出校舍门口的蒂蒂望向天空，乌云密布的天空开始下雨。

  「你没带伞吗？」

  「虽然有看天气预报，不过早上出门太赶，所以就忘记了。不过没关系，只是小雨，用跑的就好了。」

  「这样到车站前就会淋湿了。反正顺路，而且我的伞也够大，一起走吧。」

  「不好意思……谢谢学长。」

  这似乎是我第一次跟女孩子共撑一把伞，我们漫步在柔和的春雨之中，虽然我有点不习惯，不过还是配合着她的步调渐渐地沉稳下来，或许是这阵雨吸收了城市的喧嚣，街道一片静寂。

  今天跟她聊了一段时间，感觉很愉快，我也没想到竟然会有个崇拜自己的可爱学妹，和蒂蒂聊天很轻松，从她的表情就可以知道她有没有听懂。

  「为什么学长会知道呢？」

  「知道什么！？」

  「就是……就是今天谈的那些数学，有关我不懂的部分，为什么学长会知道我哪里不懂呢？」

  啊～～吓到我了，我还以为蒂蒂会心电感应。

  「因为今天谈到的论题，也就是质数和绝对值的部分，我也曾经抱持疑问。读数学的时候，为不懂的地方感到困扰、在想了好久、读了很多书之后，才发现『啊，原来如此！』这是相当不错的体验，在累积这些体验后，会渐渐对数学产生兴趣，进而变得拿手。啊，在前面转弯吧。」

  「转弯。是『TheBendintheRoad』吧……从这条路也能到车站吗？」

  「嗯，从这里转弯、穿过住宅区会比较快到车站。」

  「会比较快到吗？」

  「是啊，早上从这里走也会比较快喔。」

  咦？蒂蒂的速度突然慢了下来，是我走太快了吗？果然要配合步调不太容易。

  到了车站。

  「因为我等一下还要到书店去，就在这里说再见了。对了，伞先借你吧。」

  「啊，就到这里吗？呃……这个……」

  「嗯？」

  「没……没什么事情。那伞我就收下了，明天我会还你的，今天真谢谢你。」

  蒂蒂将两手放在前面深深地鞠躬。

  2．7自家

  夜晚。

  我在房间里回想今天与蒂蒂的互动，她既纯真又有冲劲，之后应该会继续成长吧，要是能让她知道数学的乐趣就好了。

  和蒂蒂说话的时候，我摆出的是教导者的姿态，这与米尔迦说话的时候有很大的不同。米尔迦始终都一直保持主动，或许该说是我一直被教导吧。

  拿出米尔迦出的回家作业。竟然被同班同学出回家作业啊……

  ※※米尔迦的回家作业

  请说明一正整数n，求其『因子和』的方法为何？

  这个问题只要把n的全部因子找出来就好了。找出来之后再把它们加起来，就成『因子和』了。但是这种回答未免太过无趣，必须寻找更进一步的答案才行……嗯，先将整数n质因子分解。

  用午休时1024＝2的问题将题目稍微广义化，例如先将n以质数的乘幂表现。

  n＝pp为质数，m为正整数

  当n＝1024时，上式变成p＝2，m＝10，用同样的方法思考1024的所有因子如下。

  1，p，p，p，……，p

  所以在n＝p的状况下，n的『因子和』求法如下。

  (n的因子和)＝1＋p＋p，p＋……＋p

  以上，就能回答整数n＝p的因子和了。

  之后再广义化……就是这样，并没有那么难，只要用和质因子分解一样的写法。

  正整数n通常能如下质因子分解，设p，q，r，……为质数，a，b，c，……为正整数。

  n＝p得到

  ＝n㏒将x以t表示

  ＝n㏒

  这里要注意㏒，令u＝1/t，然后调查当u＞0时，㏒的情形，这和调查调和数(Harmonicnumber)时十分类似，先画出和缓的『西边的山丘』。

  [插图：平面直角坐标系u-y，1/1 u，过(0,1)向右画直线，任取直线上一点作u轴射影构成长方形。长方形的面积为u，曲线与射影线与u-y轴所成的图形面积为㏒]

  (无名之声：这图我作了1个小时，斜线阴影要一条一条地作，怎么几何画板上阴影就不能用斜线呢？一定要填充颜色，我纠结。)

  由于u＞0时，斜线部分的面积小于长方形的面积，所以……

  ㏒＜u

  又因为u＝1/t……

  ㏒＜1/t

  即可得到下式。

  ㏒＝n㏒＜n/t

  以上就是对『西边的山丘』的观察。

  ※※『西边的山丘』的上界

  ㏒＜n/tt＞0

  10．7．5旅途的终点

  那么，再一次回到『岔路』吧，快一点快一点。

  观察『东边的森林』与『西边的山丘』利用到的㏒，就会变成下面的式子。

  ㏒＜n/t＋(π/6)tt＞0

  就快结束了，将上面右边的式子命名为g(t)，求函数g(t)在t＞0时的最小值，这个最小值就能将㏒的头压住了。

  g(t)＝n/t＋(π/6)t

  g’(t)＝－n/t＋π/6微分

  解方程式g’(t)＝0，得到t＝±(/π)，所以在t＞0的范围内得到以下的增减表。

  t 0 …/π…

  g’(t)-0

  g(t)最小

  故最小值如下。

  g(/π)＝(/3)×

  用比较容易懂的图表示就会像下面的图表，解出方程式g’(t)＝0是为了要找出图中水平切点的位置。

  [插图：只有正半轴的平面直角坐标系，画y=g(t)=(n/t) (π/6)t，描点(/π×3),(π/3)×t]

  终于到**的部分了，现在关心的只有n，所以其它烦人的常数通通集合起来命名为K。

  ㏒＜K×但是K＝π/3

  在『第一个转角』时有取对数，所以现在反取回来，回到转角就能看见家了。

  P＜e但是K＝π/3

  好了，这样终于告一段落了。

  虽然是漫长的旅程，不过已经到家了……欢迎回来。

  ※※分拆数P的上界之一

  P＜e但是K＝π/3

  ※※求㏒的上界×的旅行地图

  ㏒

  ↓≤

  ㏒＋Σ

  西边的山丘↑ 东边的森林↑

  ↓

  『西边的山丘』←『岔路』→『东边的森林』

  ↓＜↓＜

  n/t→n/t＋(π/6)t←(π/6)t

  ↓

  (π/3)×

  10．7．6蒂蒂的回顾

  我和蒂蒂一起享受米尔迦这段漫长的旅程，虽然有些地方还想亲自确认，不过现在最重要的是品尝在漫长旅途结束之后……追逐算式之后无法言喻的感觉。

  我看向蒂蒂，她摆出认真的表情不发一语。

  「蒂蒂，难道你很泄气吗？」我小声地问。

  「不！怎么会，我完全不会泄气。」蒂蒂开朗地笑着。「在米尔迦学姐推导的过程中，有很多我不懂的地方，不过我没有泄气，因为我也有很多地方听得懂。」

  蒂蒂点点头之后继续说：

  「……总觉得好像用脑过度了，真是好长的旅途啊，虽然还有很多地方没消化完，不过已经抓到大概的感觉了，而且出现许多武器让我感到很有趣，能亲手使用这些武器也令我觉得很厉害。」-

  将有限和变成无限和，做出不等式-

  放弃变形成简便的形式，让上界的观察更为仔细-

  为了将积变和而取对数-

  使用无穷级数的求和公式-

  瓶颈时的泰勒展开式-

  麻烦时的变数变换-

  尤拉老师的贝塞尔问题-

  为了求最小值而微分的增减表

  「武器到手之后要靠自己磨练，然后挑战问题，这样才会有跃动的实感。不是解答理所当然的问题就好，而是要将这种栩栩如生的感动传达出去……从『第一个转角』到『岔路』，然后是『东边的森林』与『西边的山丘』……我想自己去寻找！想学习更多知识！米尔迦学姐，谢谢你，虽然我还没办法将每样武器好好地运用，而且在使用之前……要先取得这些知识当武器吧，我会加油的。」

  蒂蒂紧握拳头。

  10．8再见！明天见

  我们三个在回家的路上继续讨论数学，像是刚才的上界，要得到比斐波那契数列更好的上界的话，n要到多大？或是最后要求出P吗？诸如此类的讨论，蒂蒂兴奋地一直提出问题，然后我回答，有时候米尔迦也会提出她的建议……我们不断互动。

  最后……通过一如往常的道路，到达一如往常的车站。

  平常米尔迦都会迅速离开，不过今天蒂蒂却要跟她一起走。

  「咦？蒂蒂，为什么你会往那里走？」

  「嘿嘿～～今天我要和米尔迦学姐一起去书店。」

  啊，原来如此……感情很好嘛。

  「我们先走了，明天见。」米尔迦说。

  「学长！明天再来算数学吧。」

  蒂蒂大声说完后，就和米尔迦一起并肩向前走。

  两人离去。

  留下我一个人。

  咦？啊……刚刚还在一直交谈，却突然只剩下我一个人……总觉得好像有点寂寞。

  我们现在在同一所高中上学，但是总有一天会走向各自的道路，无论再怎么分享，我们的时间与空间仍然有限，结束终将来临，我的胸口传来一阵心痛。

  ……不远处的蒂蒂正在米尔迦耳边说些什么，突然间，两个人转过身面对我。

  怎么了吗？

  蒂蒂高举右手，猛烈地摇摆。

  米尔迦则是静静地举起右手。

  然后两人配合节奏，同时摆动手指。

  「一、一、二、三……」蒂蒂的声音传来。

  啊，斐波那契手势，而且两人还同时做。

  我露出苦笑。

  没错，时间确实有限，结束也终将来临，不过正因为如此，才会更尽力地去学、尽力地前进，享受着属于我们的那名为数学的语言。

  因为——『数学是超越时间的』。

  我用力高举双手，响应这两位数学少女。

  米尔迦。

  蒂蒂。

  明天再一起算数学吧！

  对我们来说，这是整个故事的结束，

  我们可以真挚地说，他们从此以后过着幸福快乐的日子。

  但是对他们而言，这才是真正故事的开始。

  他们在这个世界的生活与他们在纳尼亚的冒险，

  都不过是这本故事书的封面与标题。

  ——C．S．刘易斯『最后的战役』(濑田贞二译林静华译／大田出版社)

  尾声

  ——春天。

  「老师！」

  一位少女跑进了教师办公室。

  「老师你看你看，学年徽章变成Ⅱ了。」

  「是啊，因为是新学期了……所以报告呢？」

  「有～～我有带来……这次是用硬算的，P等于176，所以比1000小，证明完毕，对了吧，老师？」

  少女摊开笔记本。

  「正确答案……原来如此，全部写上去了啊。」

  「没办法用头脑解的话就只能动手了，可是176也和1000差太远了吧！……对了，老师，有表示分拆数的一般项P的式子吗？」

  「嗯，算是有吧。」

  ※※解答X(表示分拆数的一般项P的式子)

  P＝(1/(π×))×Σ

  其中C＝π

  （JoyJ：成功表示出这个式子以后我泪流满面……结束啦结束啦结束啦啊啊啊啊啊啊啊……）

  「……老师，这个夸张的式子是什么？」

  「很惊人吧，这是拉德梅御在一九三七年发表的式子。」

  「喔……不，等一下。这个Ak(n)是什么？没有定义啊。」

  「嗯，你注意到了，这个问题代表你有仔细看这个算式，虽然老师没办法用一句话详细说明A(n)，不过是从某个有限和得出的，这个有限和的24次方是1，详细的话就要挑战论文了。」

  「唔，需要到这种程度吗……」

  「总之，在整数的分拆中还隐藏着许多不可思议的『宝物』喔。

  「老师，先别管数学……这张照片是老师的女朋友吗？地点……是在欧洲吗？」

  「好了好了，不要擅自看别人的信。」

  「咦，这一封信又是不一样的女生？这张照片……不在日本，是在哪里呢？」

  「喂，别拿走。」

  「老师很受欢迎呢！」少女发出呵呵的笑声。

  「不是你想的那样，她们两个……是老师很重要的朋友，是从高中时代开始就一起在数学世界旅行的同伴。」(无名之声：渣就是渣，还解释什么)

  「喔，原来老师也有高中生的时代啊。」

  「这当然啊，好了，快回去快回去。」

  「给我新的卡片我就回去。」

  我递出卡片，少女用两手接过。

  「咦？老师……这次是两张卡片啊？，

  「嗯，这张是你的卡片，另外一张是他的。」

  『啊，好～～那就打扰了！」

  少女微笑着摆动手指四次。

  我将手张开回应她后，她满足地走出教师办公室。

  春天啊……

  望向教师办公室窗外的樱花，让我回想起当时的情况。

  将手无限地展开，

  想获得丰富果实的采收作业，

  就要等待读者的努力。

  ——尤拉[25]